Maclaurin e descomposición de algunhas funcións

Estudar matemáticas avanzada debe estar en conta que a suma dunha serie de potencia durante o período de converxencia dunha serie de nós, é un número continuo e ilimitado de veces nunha función diferenciada. Xorde a pregunta: é posible argumentar que, dado un arbitraria función f (x) - é a suma dunha serie de potencia? Isto é, en que condicións o F-cións (x) f pode ser representada por unha serie de potencia? A importancia desta cuestión é que é posible substituír aproximadamente £ Theological f (x) é a suma dos primeiros termos dunha serie de potencia, que é un polinomio. Tal función de substitución é expresión moi sinxelo - polinomial - é cómodo e na resolución de determinados problemas en análise matemática, en particular na resolución de integrais no cálculo de ecuacións diferenciais , etc ...

Proba-se, que para algúns f f-II (X), na que os derivados do (n + 1) -ésima orde pode ser calculado, incluíndo o último na veciñanza de (α - R; x ₀ + R) dun punto x = α fórmula xusto é:

Esta fórmula é nomeado despois do famoso científico Brooke Taylor. Un número dos cales é derivada da anterior, chama-se unha serie de Maclaurin:

Unha regra que fai que sexa posible producir expansión dunha serie Maclaurin:

1. Determinar derivados do primeiro, segundo, terceiro, ... fin ,.
2. Calcular cales son derivados en x = 0.
3. Marca da serie Maclaurin para esta función e, a continuación, para determinar o rango de converxencia.
4. Determinar intervalo (R; R), en que a parte residual de fórmula Maclaurin

R _n (x) -> 0 para n -> infinito. Habela, que a función f (x) debe ser igual á suma da serie Maclaurin.

Considere agora a serie de Maclaurin para as funcións individuais.

1. Deste xeito, o primeiro en ser f (x) = e ^x. Claro, que as súas características así F-Ia foi derivado dunha variedade de ordes, e F ^{(k) (x)} = e ^X, onde k é igual a todos os números naturais. Substituto x = 0. Obtemos f ^{(K) (0)} = P ⁰ = 1, k = 1,2 ... Baseándose no exposto, un número de e ^x Será como segue:

2. serie Maclaurin para a función f (x) = seno x. Inmediatamente especificar que F-cións para todos os derivados descoñecidos terán, ademais de ^{f (x)} = cos x = sen (x + n / 2), ^{f '' (x)} = x -sin = sen (x + 2 * n / ²⁾ ..., f ^{(k) (x)} = sen (x + n * K / 2), no que k é igual a calquera valor enteiro positivo. Isto é, facer cálculos simples, podemos concluír que a serie para f (x) = sin x será así:

3. Agora imos considerar iju (x) f-F = cos x. É descoñecido para todos os derivados de orde arbitraria, e ^{| f (k) (x)} | = | Cos (x + k * N / 2) | <= 1, k = 1,2 ... Unha vez máis, tendo feito algúns cálculos, descubrimos que a serie para f (x) = cos x será coma este:

Así, listados as características máis importantes que poden ser expandidas nunha serie Maclaurin, pero complementar a serie de Taylor para algunhas funcións. Agora imos enumera-los tamén. Tamén hai que ter en conta que a serie Taylor e series Maclaurin son unha parte importante da serie de obradoiros de decisións en matemáticas superior. Entón, serie de Taylor.

1. A primeira é unha serie de F-II f (x) = ln (1 + x). Como nos exemplos anteriores, polo que f (x) = ln (1 + x) pode ser dobrada para un número, a través da forma xeral de serie Maclaurin. pero para que este recurso Maclaurin pode obterse moito máis fácil. Integrando unha serie xeométrica, obtense un número de f (x) = ln (1 + x) da mostra:

2. E a segunda, que é definitivo neste artigo, será unha serie de f (x) = arctg x. Para x pertencentes ao intervalo [-1; 1] é válido descomposición:

Isto é todo. Neste artigo eu observaba a serie de Taylor máis utilizado e serie Maclaurin en matemáticas superior, especialmente nas facultades económicas e técnicas.