Cálculo diferencial de funcións de unha e varias variables

Cálculo diferencial é unha rama da análise matemática, que examina a derivada, diferenciais ea súa utilización no estudo de funcións.

A historia de

Cálculo diferencial xurdiu como unha disciplina independente, na segunda metade do século 17, grazas ao traballo de Newton e Leibniz, que formulou as disposicións fundamentais no cálculo dos diferenciais e notou a conexión entre integración e diferenciación. Dende a disciplina desenvolveu xunto co cálculo de integrais, constituíndo así a base da análise matemática. A aparición destes cálculos abriu un novo período moderno no mundo matemático e causou a aparición de novas disciplinas en ciencia. Tamén estendeu a posibilidade de aplicar a matemática nas ciencias naturais e enxeñaría.

conceptos básicos

Cálculo diferencial baséase nos conceptos fundamentais da matemática. Son: un número real, continuidade e límite de función. Despois dun tempo, eles tomaron un aspecto moderno, grazas ao cálculo integral e diferencial.

O proceso de creación

Formación do cálculo diferencial en forma de aplicación, e, a continuación, o método científico ocorreu antes da aparición da teoría filosófica, que foi creado por Nikolai Kuzansky. O seu traballo é considerado un desenvolvemento evolutivo da antiga ciencia do xuízo. A pesar do feito de que o propio filósofo non era un matemático, a súa contribución ao desenvolvemento da ciencia matemática é innegable. Cusa, un dos primeiros da consideración da aritmética como a ciencia máis precisa, matemáticas poñer o tempo en cuestión.

En matemáticos antigos criterio universal era unha unidade, mentres que o filósofo proposto como novo infinito medida voltar o número exacto. En conexión con esta representación convencional de precisión na ciencia matemática. O coñecemento científico, na súa opinión, está dividido en racional e intelixente. A segunda é máis preciso, segundo o científico, xa que o primeiro dá só resultados aproximados.

idea

A idea básica eo concepto de cálculo diferencial asociado coa función nun pequeno barrio de certos puntos. Para iso, é necesario crear un aparato matemático para funcionar estudos cuxo comportamento nun pequeno barrio de puntos instalados preto o comportamento dunha función lineal ou un polinomio. Derivada definición de derivada e diferencial.

O xurdimento do concepto do derivado foi causado por un gran número de problemas de ciencias naturais e matemáticas, o que levou á determinación de valores límite do mesmo tipo.

Unha das principais tarefas que se dan como exemplo, comezando coas clases máis antiga escola, é determinar a velocidade do movemento dun punto en liña recta ea construción da liña tanxente a esta curva. O diferencial ligado a este, xa que é posible achegar a función nun pequeno veciñanza do punto dunha función lineal.

Comparado co concepto de derivada dunha función dunha variable real, a definición dos diferenciais simplemente pasa sobre a función da natureza xeral, en particular, a imaxe dun espazo euclidiano para outro.

derivado

Deixe o punto se move na dirección do eixe-y, ao tempo que levamos x, que é medida a partir do inicio de un momento. Describen un tal movemento é posible pola función y = (x) f, o cal está asociado a cada punto de tempo coordenada x punto deslocável. Esta chamada de función en mecánica de tomar lei do movemento. A característica principal do movemento, especialmente irregular, é a velocidade instantánea. Cando o punto é movido ao longo do eixe y segundo a lei da mecánica, o punto de tempo aleatorio adquire coordenada x f (x). No punto de tempo x +? H, en que? H representa o incremento de tempo, que vai kordinaty f (x +? H). fórmula así formado Ay = f (x +? H) - f (x), que se chama unha función de incremento. É un punto do camiño percorrido durante o tempo de x para x + Sh.

En conexión coa aparición da velocidade no derivativo de tempo é administrado. O derivado de calquera función para un punto fixo chamado o límite (supoñendo que existe). Pode ser referido determinados caracteres:

f '(x), y', y, DF / dx, dy / dx, DF (x).

O proceso de calcular a derivada de diferenciación chamada.

Cálculo diferencial de funcións de varias variables

Este método é aplicado ao calcular estudo función, diversas variables. Cando hai dúas variables x e y, a derivada parcial respecto ax no punto A é chamado o derivado desta función en X cun y fixo.

Pode ser indicada polos seguintes símbolos:

f '(x) (x, y), u' (x), ∂u / ∂x e ∂f (x, y) '/ ∂x.

habilidades necesarias

A fin de aprender e ser capaz de resolver diffury habilidades necesarias na integración e diferenciación correctamente. Para facelo máis fácil de entender as ecuacións diferenciais, debe ser entendido derivado tema e integral indefinida. Tampouco fere a aprender a mirar para a derivada da función implícita. Isto é debido ao feito de que no proceso de aprendizaxe, moitas veces, usar integrais e diferenciación.

Tipos de ecuacións diferenciais

Practicamente todo o traballo de control asociado as ecuacións diferenciais de primeira orde, existen 3 tipos de ecuacións: homoxéneos, con variables separabades, non homoxéneos lineares.

Tamén ecuacións especies máis raras con diferenciais totais, a ecuación de Bernoulli, e outros.

solucións Fundamentos

Para comezar, hai que lembrar é a ecuación alxébrica dun curso escolar. Conteñen as variables e números. Co fin de resolver a ecuación convencional que atopar abundancia de números que cumpren unha condición especificada. Normalmente, estas ecuacións teñen unha raíz, e para a validación debería substituír este valor en lugar descoñecido.

A ecuación diferencial é similar a esta. En xeral, unha ecuación de primeira orde comprende:

• variable independente.
• Un derivado da primeira función.
• Función ou variable dependente.

Nalgúns casos, pode non haber un descoñecido, x ou y, pero non é tan importante como é necesario para que o primeiro derivado, sen derivados de orde máis elevada para a solución eo cálculo diferencial eran certas.

Resolver a ecuación diferencial - significa a atopar o conxunto de todas as funcións que se dan expresión adecuada. Tales conxuntos de funcións é frecuentemente chamado de control de solución xeral.

cálculo integral

cálculo integral é unha das seccións de análise matemática, que examina o concepto de integrais, propiedades e métodos do seu cálculo.

Moitas veces, o cálculo da integral ocorre cando o cálculo da área de forma curvilínea. Por este medio, unha área límite, para o cal un área pre-determinada de forma de polígono inscrito cun aumento gradual na súa man, e ao lado dos datos pódese facer con menos do que algún valor pequeno arbitraria anteriormente indicado.

A idea principal no cálculo da área de calquera forma xeométrica está a calcular a área dun rectángulo, a continuación, hai evidencias de que a súa área é igual ao produto da lonxitude da largura. Cando se trata de xeometría, a continuación, as construcións están feitas empregando unha regra e un compás, e, a continuación, a relación entre longo e ancho é un valor racional. Ao calcular a área dun triángulo rectángulo pode ser determinado que se pór un ao lado do triángulo, un rectángulo está formado. Na zona do paralelogramo calcúlanse por un método semellante, pero lixeiramente máis complicado, dentro dun rectángulo e un triángulo. Na área de un polígono é considerado por triángulos incluídos nel.

Na determinación da mercé arbitraria, este método non se axusta a curva. Se nós rompe-lo en cadrados individuais, permanecerá prazas non cubertas. Neste caso, tentar empregar dúas mans, con rectángulos arriba e abaixo, como un resultado das incluír a gráfica da función e non inclúe. Importante aquí é un xeito de romper eses rectángulos. Ademais, se tomamos a ruptura cada vez máis reducida, a área da parte superior e inferior deben converxer a un determinado valor.

Debe volver a un método para separar en rectángulos. Hai dous métodos populares.

Riemann foi formalizada definición da integral, creado por Leibniz e Newton, como a área de subgrafo. Neste caso, considerou-se unha figura que consiste nun certo número de rectángulos verticais obtidos dividindo o intervalo. Cando a quebra dun decrecemento hai un límite para o que a zona reducida de tal figura, este límite é chamado o integral de Riemann dunha función nun intervalo especificado.

Un segundo método consiste en construír o Lebesgue, que consiste no feito de que no lugar de separación da zona designada nunha parte do integrando e compilar entón a suma integral dos valores obtidos nestas partes, en intervalos dividido a súa gama de valores e logo resumido coas medidas correspondentes imaxes inversas destas integrais.

medios modernos

Un dos principais beneficios para o estudo do cálculo diferencial e integral Fikhtengol'ts escribiu - "do cálculo diferencial e integral." O seu libro é unha ferramenta fundamental para o estudo da análise matemática, que resistiron a moitas edicións e traducións a outros idiomas. Creado para estudantes e por un longo tempo utilizado nunha variedade de institucións de ensino como un dos principais beneficios do estudo. Dá información teóricos e habilidades prácticas. Publicado por primeira vez en 1948.

función de busca algoritmo

Para explorar os métodos de función de cálculo diferencial, ten que seguir xa chega algoritmo:

1. Atopa o dominio da función.
2. Atopar as raíces da ecuación dada.
3. Calcular os extremos. Para iso, nós calculamos a derivada eo punto onde é igual a cero.
4. Nós substituídos o valor obtido na Eq.

Variedades de ecuacións diferenciais

O control da primeira orde (doutro xeito, o cálculo diferencial dunha variable) e os seus tipos:

• Con variables separabades ecuación: f (y) dy = g (x) dx.
• A ecuación diferencial ou función de cálculo máis sinxelo dunha variable, tendo a fórmula: y '= f (x).
• A primeira orde de control non uniforme linear: y '+ P (x) y = Q (X).
• ecuación diferencial de Bernoulli: y '+ P (x) y = Q (x) y a.
• Ecuación diferenciais totais con: P (x, y) Q (x, y) dy = 0 + dx.

As ecuacións diferenciais de segunda orde e os seus tipos:

• ecuación diferencial de segunda orde linear homoxéneo con ^{coeficientes constantes: y n + py '+ qy} = 0 p, q pertence R.
• homognea ecuación lineal diferencial de segunda orde con coeficientes de ^{valor constante: y n + py '+ qy} = f (x).
• ^ecuación diferencial linear ^{homoxéneo: y n + p (x)} y '+ Q (x) y = 0, ^{ea ecuación} no homognea de segunda ^{orde: y n + p (x)} y' + Q (x) y = f (x).

Ecuacións diferenciais de ordes superiores e os seus tipos:

• A ecuación diferencial, permitindo a redución da ^{orde: F (x, y (K} ), y (K + ^{1), .., y (n)} = 0.
• Unha ecuación linear de orde superior ^{_{homoxénea: y (n) + f (}} n- ₁₎ y ^(n-1) + ... + F ₁ y '+ F ₀ y = 0, e ^{_{no homognea: y (n) + f (}} n _-1) y ^(n-1) + ... + F ₁ y '+ F ₀ y = f (x).

Prácticas de resolver o problema coa ecuación diferencial

Coa axuda do mando a distancia son resoltos non só matemáticas ou problemas físicos, senón tamén os distintos problemas de bioloxía, economía, socioloxía e outros. A pesar da gran variedade de temas, debe seguir unha secuencia lóxica única para resolver estes problemas:

1. Elaboración de control. Unha das etapas máis difíciles, o que esixe o máximo de precisión, pois calquera erro vai levar a resultados completamente erradas. Cómpre ter en conta todos os factores que afectan o proceso e determinar as condicións iniciais. Tamén debe ser baseado en feitos e conclusións lóxicas.
2. Para resolver ecuacións. Este proceso é máis doado para o primeiro punto, xa que esixe só a aplicación estrita de cálculos matemáticos.
3. Análise e avaliación dos resultados. solución derivada debe ser avaliada para a instalación de valor práctico e teórico do resultado.

Un exemplo do uso de ecuacións diferenciais en medicina

Usando o mando a distancia no campo da medicina é atopada na construción do modelo matemático epidemiolóxica. Non debemos esquecer que estas ecuacións tamén se atopan en bioloxía e química, que están preto da medicina, xa que ela ten un papel importante no estudo de diferentes poboacións biolóxicas e procesos químicos no corpo humano.

Neste exemplo, a epidemia de propagación da infección poden ser tratados nunha comunidade illada. Os habitantes son divididos en tres tipos:

• Infectado, o número de x (t), que consistía de individuos, de portadores infecciosos, cada un dos cales é infeccioso (período de incubación é curto).
• O segundo tipo inclúe individuos susceptibles y (t), pode ser infectado por contacto con infectada.
• O terceiro tipo inclúe individuos refractarios z (t), que son inmunes ou perdido debido a unha enfermidade.

Número de individuos constantemente, mantendo nacemento, mortes naturais e migración non é considerado. No núcleo será dúas hipóteses.

enfermidade por cento nalgún punto no tempo é igual a x (t), y (t) (Asunción con base na teoría de que o número de casos en proporción ao número de cruzamentos entre pacientes e membros reactivos, que en primeira aproximación é proporcional a X (t), y (t)), en polo tanto, o número de casos está aumentando, eo número de caídas sensibles a un ritmo que é calculado pola fórmula Machado (t) y (t) (a> 0).

Número de animais non-respondedores que morreron ou que a inmunidade adquirida, o aumento a un ritmo que é proporcional ao número de casos, bx (t) (b> 0).

Como resultado, pode configurar un sistema de ecuacións con todos os tres indicadores en base ás súas conclusións.

Exemplo de uso economía

cálculo diferencial é frecuentemente utilizado na análise económica. A principal tarefa na análise económica é considerado o estudo dos valores da economía, que son rexistrados na forma da función. El é usado na resolución de problemas, tales como cambios nos aumentos de impostos de renda inmediatamente despois, taxas de entrada, cambios en receitas ao cambiar o valor do produto, en que proporción poden ser substituídos por funcionarios xubilados con novos equipamentos. Para resolver tales problemas, é necesario construír unha función de comunicación das variables de entrada, que, despois de ser estudados por cálculo diferencial.

moitas veces é necesario para atopar o desempeño máis ideal na esfera económica: a máxima produtividade, a maior renda, menos custos e así por diante. Cada tal compoñente representa unha función dunha ou máis argumentos. Por exemplo, a produción pode ser considerada como unha función do traballo e do capital. A este respecto, atopar un valor axeitado pode ser reducido para atopar o máximo ou mínimo dunha función dunha ou máis variables.

Tales problemas crear unha clase de problemas extremas no campo económico, para o cal ten que cálculo diferencial. Cando o indicador económico é necesario para minimizar ou maximizar como unha función de outros parámetros, a función máxima punto proporción incremento aos argumentos tenderá a cero, o incremento do argumento tende a cero. En caso contrario, cando tal actitude tende a un certo valor positivo ou negativo, o punto especificado non é adecuada, porque, aumentando ou diminuíndo o argumento se pode cambiar valor dependente na dirección desexada. Na terminoloxía cálculo diferencial, iso significaría que as condicións necesarias para a función máxima é un valor de cero dun seu derivado.

A economía non é problema raro de atopar o extremo dunha función de varias variables, xa que os indicadores económicos están feitos de moitos factores. Tales cuestións son ben comprendidos na teoría de funcións de varias variables, o método de cálculo diferencial. Estes problemas inclúen non só maximizada e función minimizar, pero tamén limitacións. Estas cuestións refírense á programación matemática, e son resoltos coa axuda de métodos especialmente desenvolvidos tamén están baseados neste sector da ciencia.

Entre os métodos de cálculo diferencial utilizados na economía, unha sección importante é a proba final. Na esfera económica, o termo refírese a un conxunto de métodos de investigación de rendemento variable e resulta cando cambiar o volume da creación, consumo, con base na análise dos seus valores límite. Limitando indicación considerado derivado ou os derivados parciais con diversas variables.

Cálculo diferencial de varias variables - un tema importante da análise matemática. Para un estudo detallado, pode utilizar unha variedade de material didáctico para as institucións de ensino superior. Un dos máis famosos Fikhtengol'ts creados - "do cálculo diferencial e integral." Como gran parte do nome para a resolución de ecuacións diferenciais de importancia considerable para ter as habilidades para traballar con integrais. Cando hai un cálculo diferencial de funcións dunha variable, a decisión faise máis fácil. Aínda que, hai que notar, segue as mesmas regras básicas. Na práctica, para investigar a función do cálculo diferencial, só tes que seguir o algoritmo existente, que é dada na escola, e só un pouco complicada coa introdución de novas variables.