Lineal e ecuación diferencial homoxénea de primeira orde. exemplos de solucións

Creo que debemos comezar coa historia da ferramenta matemática glorioso como ecuacións diferenciais. Como todo o cálculo diferencial e integral, estas ecuacións foron inventadas por Newton no final do século 17. El cría que era seu descubrimento tan importante que mesmo a mensaxe cifrada, que hoxe pode ser traducido do seguinte xeito: "Todas as leis da natureza descritos por ecuacións diferenciais." Pode parecer unha esaxeración, pero é verdade. Calquera lei da física, química, bioloxía, poden ser descritos por estas ecuacións.

Unha enorme contribución ao desenvolvemento e creación da teoría das ecuacións diferenciais teñen matemáticas de Euler e Lagrange. Xa no século 18, descubriron e desenvolveron o que está agora estudando nos cursos universitarios seniores.

Un novo fito no estudo de ecuacións diferenciais comezou grazas a Anri Puankare. Creou unha "teoría cualitativa de ecuacións diferenciais", o que, combinado coa teoría de funcións de variables complexas contribuíron significativamente á base da topoloxía - a ciencia do espazo e as súas propiedades.

Cales son ecuacións diferenciais?

Moitas persoas teñen medo da frase "ecuación diferencial". Con todo, neste artigo, imos definir en detalle a esencia desta ferramenta matemática moi útil que, en realidade, non é tan complicado como parece a partir do título. Co fin de comezar a falar dunha ecuación diferencial de primeira orde, ten que primeiro familiarizarse cos conceptos básicos que son inherentemente asociados con esta definición. E imos comezar co diferencial.

diferencial

Moitas persoas coñecen este termo desde o instituto. Con todo, aínda me debruzouse sobre iso en detalles. Imaxina que a gráfica da función. Podemos aumenta-lo de tal forma que calquera do seu segmento faise unha liña recta. Vai levar dous puntos que son infinitamente próximos uns dos outros. A diferenza entre as súas coordenadas (x ou y) é infinitesimal. E se chama diferencial e caracteres designar dy (diferencial y) e dx (o diferencial de X). É importante entender que o diferencial non é o valor final, e este é o significado ea función principal.

E agora ten que considerar os seguintes elementos, que teremos que explicar o concepto ecuación diferencial. It - derivado.

derivado

Todos que ter oído falar na escola e esta noción. Din que o derivado - é a taxa de crecemento ou diminución da función. Con todo, esta definición se fai máis confuso. Intentaremos explicar as palabras derivadas dos diferenciais. Imos volver para a función de rango infinitesimal con dous puntos, que están situados a unha distancia mínima un do outro. Pero, aínda máis aló desta función de distancia é o momento de pasar a algún valor. E para describir que os cambios e chegar a un derivado que, doutro xeito ser escrita como a razón entre os diferenciais: f (x) = df / dx.

Agora hai que considerar as propiedades básicas do derivado. Hai só tres:

1. suma derivado ou a diferenza pode ser representado como a suma ou a diferenza dos derivados de: (a + b) '= a' + b 'e (AB)' = a'-b '.
2. A segunda propiedade é conectado con multiplicación. obras derivadas - é a suma das obras dunha función a outra derivado: (a * b) '= A * b + a * b'.
3. O derivado da diferenza pode ser escrita como a seguinte ecuación: (a / b) '= (A * BA * b') / b ^2.

Todos estes recursos veñen a cadra para atopar solucións para ecuacións diferenciais de primeira orde.

Ademais, non son derivadas parciais. Supóñase que teñen unha función de z, que depende das variables x e y. Para calcular a derivada parcial desta función, por exemplo, en x, hai que tomar a y variable para constante e rápida diferenciar.

integral

Outro concepto importante - completo. En realidade, é o contrario do derivado. Integrais son varios tipos, pero as solucións máis simples de ecuacións diferenciais, necesitamos dos máis triviais integrais indefinidas.

Entón, cal é a integral? Imos dicir que temos algunha relación f x. Tomamos a partir del a integral e obter unha función f (x) (que é moitas veces referida como unha primitiva), que é un derivado da función orixinal. Por conseguinte, F (x) '= f (x). Isto tamén significa que a integral do derivado é igual á función orixinal.

Na resolución de ecuacións diferenciais é moi importante para comprender o significado ea función do completo, pois moitas veces ten que leva-los a atopar solucións.

As ecuacións son diferentes dependendo da súa natureza. Na seguinte sección, imos ollar para tipos de ecuacións diferenciais de primeira orde e, a continuación, aprender a resolvelos.

Clases de ecuacións diferenciais

"Diffury" dividida pola orde de derivados implicados neles. Así, hai unha primeira, segunda, terceira ou máis solicitudes. Eles poden ser divididos en varias clases: ordinarias e parciais.

Neste artigo, imos considerar as ecuacións diferenciais ordinarias de primeira orde. Exemplos e solucións discutir nas seccións seguintes. Consideramos só o TAC porque son os tipos máis comúns de ecuacións. Ordinary divididos en subespecies: con variables separabades, homoxéneos e heteroxéneos. Logo vai aprender como eles difiren uns dos outros, e aprender a resolvelos.

Ademais, estas ecuacións poden ser combinadas, de xeito que despois de que nós obtemos un sistema de ecuacións diferenciais de primeira orde. Tales sistemas, tamén ollar e aprender a resolver.

Por que estamos considerando só o primeiro pedido? Porque é necesario comezar cunha simple e describir as asociados con ecuacións diferenciais, nun único artigo é imposible.

Ecuacións con variables separabades

Este é quizais o máis sinxelo ecuacións diferenciais de primeira orde. Son exemplos que poden ser escritas como: y '= f (x) * f (y). Para resolver esta ecuación precisamos da fórmula representación do derivado como o ratio entre os diferenciais: y '= dy / dx. Con iso obtense a ecuación: dy / dx = f (x) * f (y). Agora podemos volver ao método de resolución de exemplos estándar: separar as variables en partes, é dicir, avanzar rapidamente toda a variable y na parte onde hai dy, e tamén facer a variable x ... Obtemos unha ecuación da forma: dy / f (y) = dx f (x), o que é conseguir, tendo os integrais das dúas partes. Non esqueza sobre a constante que quere poñer tras a integración.

A solución de calquera "diffura" - é unha función de x por y (no noso caso), ou se hai unha condición numérica, a resposta é un número. Imos examinar un exemplo concreto de todo o curso da decisión:

y '= 2y * sen (x)

Trasladar as variables en direccións diferentes:

dy / y = 2 * sen (x) dx

Agora tome as integrais. Todos eles poden ser atopados nunha táboa especial de integrais. E temos:

ln (y) = -2 * cos (x) + C

Se é necesario, podemos expresar o "y" en función do "X". Agora podemos dicir que a nosa ecuación diferencial é resolto, se non se especifica condición. Pode ser especificado condición, por exemplo, y (n / 2) = e. Entón, imos simplemente substituír o valor destas variables na decisión e atopar o valor da constante. No noso exemplo, é 1.

ecuacións diferenciais de primeira orde homoxéneos

Agora sobre as partes máis complexas. Ecuacións homoxéneas diferenciais de primeira orde pode ser escrito en forma xeral como: y '= z (x, y). Nótese que a función correcta de dúas variables é uniforme, e non pode ser dividido en dous, dependendo: z X e Z de y. Asegúrese de que a ecuación é homoxénea ou non, é moi sinxelo: Nós facemos a substitución x = k * x e y = k * y. Agora imos cortar todo k. Se estas cartas son descartados, entón a ecuación homoxénea e pode continuar con seguridade para a súa solución. Mirando cara o futuro, nós dicimos: o principio da solución deses exemplos tamén é moi sinxelo.

Necesitamos facer a substitución: y = T (x) * x, onde t - unha función que tamén depende de x. A continuación, pode expresar o derivado: y '= t' (x) * x + T. Substituíndo todo isto na nosa ecuación orixinal e simplifica-lo, temos o exemplo de separación de variables t como x. Resolve-lo e obter a dependencia de T (x). Cando chegamos, simplemente substituír o noso anterior substitución y = T (x) * x. Logo obtemos a dependencia de y sobre x.

Para facer máis claro, imos entender un exemplo: x * y '= yx * e y / x.

Ao comprobar a substitución de todo o descenso. Entón, a ecuación é moi homoxénea. Agora facer outra substitución, falamos: y = T (x) * x e y '= t' (x) * x + t (x). Despois de simplificación a seguinte ecuación: T (x) * x = -e t. Nós decidir para obter unha mostra con variables separadas e ^{temos: e -t = ln (C *} x). Nós só necesitamos substituír t por y / x (porque se y = t * x, entón t = y / x), e temos a ^{resposta: e Y / x = ln (} x * C).

ecuación diferencial linear de primeira orde

É hora de considerar outro tema amplo. Imos ollar ecuacións diferenciais de primeira orde heteroxéneos. Como eles difiren dos dous anteriores? Imos afrontalo lo. ecuacións diferenciais primeira orde lineal, baixo a forma xeral da ecuación pode ser escrita do seguinte xeito: y '+ g (x) * Y = Z (X). Debe ser clarificado que z (x) e g (x) poden ser valores constantes.

Aquí está un exemplo: y '- y * x = x ^2.

Hai dous xeitos de resolver, e orde Examinemos ambos. A primeira - o método de variación de constantes arbitrarias.

Para resolver a ecuación deste xeito, cómpre compatibilizar o lado de primeira man dereita a cero, e resolver a ecuación resultante que tras a transferencia de partes tórnase:

y '= y * x;

dy / dx = y * x;

dy / y = xdx;

ln | y | = x ^2/2 + C;

Y = e ^{x2 / 2} * ^C y C = ₁ * e ^{x2 / 2.}

Agora cómpre substituír a constante C ₁ sobre a función V (x), que atoparemos.

y = V * e ^{x2 / 2.}

Debuxe un derivado de substitución:

^{Y '= v * e x2} / ² * -x v * e ^{x2 / 2.}

E substituíndo estas expresións na ecuación orixinal:

V * e ^{x2 / 2} - x * v * E ^{X2 / 2} + x * v * E ^{X2 / 2} = x ^2.

Verás que no lado esquerdo das dúas palabras son reducidos. Se algún exemplo que non aconteceu, entón facer algo mal. Seguimos:

V * e ^{x2 / 2} = x ^2.

Agora imos resolver a ecuación habitual na que pretende separar as variables:

DV / dx = x ^{2 /} e ^x2 / ^2;

DV = x ² * e ^{- x2 / 2} dx.

Para eliminar o completo, debemos aplicar a integración por partes aquí. Con todo, este non é o tema deste artigo. Se vostede está interesado, pode aprender por conta propia para realizar tales accións. Non é difícil, e con habilidade e coidado suficiente para non é lento.

Refírese ao método segundo a solución das ecuacións non homoxéneos: método de Bernoulli. Que achega é máis rápido e máis fácil - é ata.

Así, cando resolver este método, necesitamos facer a substitución: y = k * n. Aquí, K e N - algunhas funcións dependendo x. A continuación, o derivado será semellante: y '= K * n + k * n'. Substituto dúas substitucións na ecuación:

k * n + k * n '+ x * k * n = x ^2.

Grupo up:

k * n + k * ( n '+ x * n) = x ^2.

Agora cómpre igualar a cero, que está entre parénteses. Agora, se combinar as dúas ecuacións resultantes, obtemos un sistema de ecuacións diferenciais de primeira orde a ser resolto:

n '+ x * n = 0;

k * n = x ^2.

A primeira igualdade decidir como a ecuación de costume. Para iso, ten que separar as variables:

DN / dx = x * V;

DN / n = xdx.

Tomamos a integral e obtemos: LN (n) = x ^2/2. Entón, se nós expresamos n:

n = e ^{x2 / 2.}

Agora substitúa a ecuación resultante para a segunda ecuación:

k * e ^{x2 / 2} = x ^2.

E transformando, obtemos a mesma ecuación como o primeiro método:

DK = x ^{2 /} e ^x2 / ^2.

Tamén non imos discutir novas medidas. Dise que o ecuacións diferenciais primeiros primeira orde solución provoca dificultades considerables. Con todo, unha inmersión máis profunda no tema está empezando a ir mellor e mellor.

Onde están ecuacións diferenciais?

ecuacións diferenciais moi activos usados na física, como case todas as leis básicas son escritos en forma diferencial, e esas fórmulas, que vemos - unha solución para estas ecuacións. En química, son usados polo mesmo motivo: as leis básicas son derivadas a través deles. En bioloxía, as ecuacións diferenciais son utilizados para modelar o comportamento de sistemas, como predador - presa. Eles poden ser usados para crear modelos de reprodución, por exemplo, as colonias de microorganismos.

Como ecuacións diferenciais axudar na vida?

A resposta a esta pregunta é simple: nada. Se non é un científico ou enxeñeiro, é improbable que será útil. Con todo, non fai mal para saber o que a ecuación diferencial e é resolto ao desenvolvemento global. E entón a cuestión dun fillo ou filla, "o que é unha ecuación diferencial?" Non colocar-lo nun beco sen saída. Ben, se vostede é un científico ou enxeñeiro, entón vostede sabe a importancia deste tema en calquera ciencia. Pero o máis importante, que agora a pregunta "como resolver a ecuación diferencial de primeira orde?" sempre será capaz de dar unha resposta. Concordo, é sempre bo cando entender que o que as persoas teñen medo ata de descubrir.

Os principais problemas no estudo

O principal problema na comprensión deste tema é un mal hábito de funcións de integración e diferenciación. Se está incómodo ASUME derivadas e integrais, é probablemente paga máis a aprender, para aprender diferentes métodos de integración e diferenciación, e só despois avanzar no estudo do material que se describe no artigo.

Algunhas persoas están sorpresas ao saber que dx poden ser trasladadas, como anteriormente (na escola) argumentou que a fracción dy / dx é indivisible. Entón tes que ler a literatura sobre o derivativo e entender que é a actitude de cantidades infinitamente pequenas, que poden ser manipuladas na resolución de ecuacións.

Moita xente non entender inmediatamente que a resolución de ecuacións diferenciais de primeira orde - esta é moitas veces unha función ou neberuschiysya completo, e esta ilusión dálles unha morea de problemas.

O que máis pode ser estudado para entender mellor?

É mellor comezar aínda máis inmersión no mundo do cálculo diferencial de libros especializados, por exemplo, na análise matemática para estudantes de especialidades non-matemáticos. Pode entón mover-se para a literatura máis especializada.

Dise que, ademais do diferencial, aínda existen ecuacións integrais, para que sempre terá algo por que loitar e que estudar.

conclusión

Agardamos que despois de ler este artigo terá unha idea do que as ecuacións diferenciais e como resolvelos los correctamente.

En calquera caso, a matemática de calquera forma útil para nós na vida. Desenvolve lóxica e atención, sen a cal todo home, pois sen as mans.