Un sistema de ecuacións alxébricas lineares. sistema homoxéneo de ecuacións alxébricas lineares

Na escola, cada un de nós estudou a ecuación e, certamente, o sistema de ecuacións. Pero moitas persoas non saben que hai moitas maneiras de resolvelos. Hoxe imos ver exactamente os métodos para resolver un sistema de ecuacións alxébricas lineares, que están compostas de máis de dúas ecuacións.

historia

Hoxe sabemos que a arte de resolver ecuacións e os seus sistemas de orixe na antiga Babilonia e Exipto. Con todo, a igualdade na súa forma familiar apareceu para nós tras a aparición do signo igual "=", que se introduciu en 1556 polo rexistro matemático inglés. By the way, este símbolo foi escollido por unha razón: isto significa dous segmentos iguais paralelas. En realidade, o mellor exemplo de igualdade non vir cara arriba.

O fundador do lettering moderno e símbolos de extensión descoñecida, o matemático francés Fransua Viet. Con todo, a súa designación é significativamente diferente do de hoxe. Por exemplo, un cadrado dun número descoñecido el designada pola letra Q ( "cadrado" lat.), E o cubo - (. Lat "cubus") letra C. Estes símbolos agora parece incómodo, pero despois foi o xeito máis intuitivo para escribir un sistema de ecuacións alxébricas lineares.

Con todo, unha desvantaxe nos métodos predominantes da solución era que os matemáticos consideran só as raíces positivos. Quizais iso se deba ao feito de que os valores negativos non teñen ningunha aplicación práctica. Dunha forma ou outra, pero o primeiro en ser considerado raíces negativas comezou tras a matemática italiano Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano e Raphael Bombelli o século 16. Unha mirada moderno, o principal método de resolver ecuacións de segundo grao (a través discriminante) estableceuse só o século 17 a través dos traballos de Descartes e Newton.

No medio do matemático suízo do século 18 Gabriel Cramer atopou unha nova forma de facer a solución de sistemas de ecuacións lineares máis fáciles. Este método foi posteriormente nomeado tras el, e ata hoxe usamos. Pero no método da charla de Kramer un pouco máis tarde, pero por agora imos discutir ecuacións lineais e as súas solucións separado do sistema.

ecuacións lineais

ecuacións lineais - a ecuación máis simple con variable (s). Eles pertencen á alxébrica. ecuacións lineais escrito na forma xeral como segue: a ₁ * ₁ x + a ₂ x ₂ + _* ... e _n * x _n = b. Envío do formulario imos ter na preparación de sistemas e matrices diante.

Un sistema de ecuacións alxébricas lineares

A definición deste termo é: un conxunto de ecuacións que teñen incógnitas comúns ea solución xeral. Normalmente, na escola todo resolto un sistema con dous ou tres ecuacións. Pero hai sistemas con catro ou máis compoñentes. Veremos primeiro como escribilo los para abaixo para que máis tarde era conveniente para resolver. En primeiro lugar, o sistema de ecuacións alxébricas lineares quedará mellor se todas as variables están escritas como x co índice correspondente: 1,2,3 e así por diante. En segundo lugar, debe conducir todas as ecuacións para a forma canónica: un ₁ * ₁ x + a ₂ x ₂ + _* ... e _n * x _n = b.

Despois de todos estes pasos, podemos comezar a dicir-lle como atopar a solución de sistemas de ecuacións lineares. Polo que virá a matriz cadra.

matriz

Matrix - unha táboa que consiste en liñas e columnas, e os seus elementos están no seu cruzamento. Isto pode ser un valor ou variable específica. Na maioría dos casos, para designar elementos que están dispostos por baixo dos subscritos (por exemplo, un pozo ₁₁ ou _23). O primeiro índice indica o número de liña, ea segunda - a columna. matrices arriba como enriba e calquera outro elemento matemático pode realizar varias operacións. Así, pode:

1) Restar e engadir o mesmo tamaño da táboa.

2) Multiplicar a matriz en calquera número ou vector.

3) Ocupar: transformar liñas da matriz nas columnas, e as columnas - en liña.

4) Multiplicar a matriz, se o número de liñas é igual a un deles un número diferente de columnas.

Para discutir en detalle todas estas técnicas, como son útiles para nós no futuro. Subtracción e adición de matrices é moi sinxelo. Sempre que tomamos o mesmo matriz de tamaño, cada elemento dunha táboa está relacionada con todos os outros elementos. Así que engadir (restar) dous destes elementos (é importante que estaban no mesmo terreo nas súas matrices). Cando multiplicado polo número de matriz ou vector basta multiplicar cada elemento da matriz polo que o número (ou vector). Transposición - un proceso moi interesante. Moi interesante, por veces, velo na vida real, por exemplo, ao cambiar a orientación dun tablet ou teléfono. As iconas do escritorio é unha matriz, e cun cambio de posición, é trasposta e se fai máis amplo, pero diminúe en altura.

Imos examinar máis de un proceso, como a multiplicación de matrices. Aínda que nos dixo, e non é útil, pero está en conta que aínda é útil. Multiplicar dúas matrices poden ser de só baixo a condición de que o número de columnas nunha táboa é igual ao número de outras liñas. Agora tomar unha liña de elementos de matriz e outros elementos da columna correspondente. Multiplica-las unhas ás outras e, a continuación, suma (isto é, por exemplo, un produto de elementos ₁₁ e ₁₂ ea ₁₂ eb ₂₂ b será igual a: a * b _{11 12} + ₁₂ * b _{22 e).} Así, un único elemento da táboa, e un método similar ao que é cuberto máis.

Agora podemos comezar a considerar como resolver sistemas de ecuacións lineares.

Gauss

Este tema comezou a ter lugar na escola. Sabemos moi ben o concepto de "sistema de dúas ecuacións lineais" e saber como resolvelos. Pero e se o número de ecuacións é maior que dous? Isto axudaranos método de Gauss.

Por suposto, este método é conveniente usar, se fai unha matriz do sistema. Pero non pode convertelo-lo e decidir por conta propia.

Entón, como resolver-lo por un sistema de ecuacións lineares Gauss? By the way, aínda que este método e nomeado tras el, pero descubriuse que nos tempos antigos. Gauss ten unha operación realizada coas ecuacións, para, finalmente, producir na totalidade de forma graduada. É dicir, ten que de arriba para abaixo (colocar correctamente) da primeira á última ecuación diminuíu un descoñecido. Noutras palabras, necesitamos ter seguro de que temos, digamos, tres ecuacións: a primeira - tres incógnitas, o segundo - dúas no terceiro - un. Entón, a partir da última ecuación, atopamos a primeira descoñecido, substituír o seu valor na segunda ou primeira ecuación, e atopar aínda máis os dous restantes variables.

regra de Cramer

Para o desenvolvemento desta técnica é vital para dominar as habilidades de suma, resta de matrices, así como a necesidade de ser capaz de atopar determinantes. Polo tanto, se está a incómoda facendo iso todos ou non sei como, cómpre aprender e ser adestrado.

Cal é a esencia deste método, e como facelo, para obter un sistema de ecuacións lineares Cramer? É moi sinxelo. Necesitamos construír unha matriz de números (case sempre) os coeficientes dun sistema de ecuacións alxébricas lineares. Para iso, só tes que levar o número do descoñecido, e nos arranxos unha mesa na orde en que son rexistrados no sistema. Se antes de que o número é un sinal "-", entón escribimos coeficiente negativo. Entón, fixemos a primeira matriz dos coeficientes das incógnitas, non incluíndo o número tras o signo igual (por suposto, que a ecuación ten que ser reducido á forma canónica cando o dereito é só un número, e á esquerda - todas as incógnitas con coeficientes). Entón tes que facer algunhas matrices - un para cada variable. Para estes efectos, a primeira matriz é substituído por unha columna de cada un, números de columna cos coeficientes tralo signo igual. Así, temos algunhas matrices e, a continuación, atopar os seus determinantes.

Despois de que nos atopamos as eliminatorias, é pequeno. Temos unha matriz de inicio, e hai varias matrices derivadas, as cales corresponden a diferentes variables. Para obter unha solución de sistema, dividimos o determinante da táboa resultante no principal determinante da mesa. O número resultante é o valor dunha variable. Do mesmo xeito, atopamos todos os incógnitas.

outros métodos

Existen varios métodos para obter a solución de sistemas de ecuacións lineares. Por exemplo, un así chamado método de Gauss-Jordan, que se usa para atopar solucións do sistema de ecuacións cuadrática, e tamén se relaciona coa utilización de matrices. Hai tamén un método de Jacobi para resolver un sistema de ecuacións alxébricas lineares. Se adapta facilmente a todos os ordenadores e úsase en computación.

casos complicados

Complexidade xeralmente ocorre se o número de ecuacións é menor que o número de variables. Entón, podemos seguramente dicir que, ou o sistema é inconsistente (é dicir, non ten raíces), ou o número das súas decisións tende ao infinito. Se temos o segundo caso - é necesario para escribir a solución xeral do sistema de ecuacións lineares. El debería incluír, polo menos, unha variable.

conclusión

Aquí chegamos ao final. Para resumir: Temos que entender o que a matriz do sistema, aprendín a atopar a solución xeral dun sistema de ecuacións lineares. Ademais, consideramos outras opcións. Descubrimos como para resolver sistemas de ecuacións lineares: eliminación de Gauss e regra de Cramer. Nós falamos sobre casos difíciles e outras formas de atopar solucións.

De feito, esta cuestión é moito máis extensa, e se quere entender mellor isto, Aconselhamo-lo a ler máis da literatura especializada.