Progresión xeométrica. Exemplo para decisión

Considero unha fileira.

7 28 112 448 1792 ...

mostra moi claramente que o valor de calquera dos seus elementos máis que os anteriores exactamente catro veces. Así, esta serie é unha progresión.

progresión xeométrica chamado secuencia infinita de números, a característica principal dos cales é que o número seguinte é obtido a partir do anterior multiplicando por algún número definido. Isto é expresado pola fórmula seguinte.

_{z 1 = a z · Q} , en que z - número do elemento seleccionado.

Por conseguinte, z ∈ N.

Un tempo en que a escola é estudado progresión xeométrica - 9º ano. Exemplos axudar a entender o concepto:

0,25 0,125 0,0625 ...

18 de febreiro de 6 ...

Derivada fórmula, a progresión do denominador se pode atopar como segue:

Nin Q, ou b _Z non pode ser igual a cero. Ademais, cada un dos elementos de unha serie de números de progresión non debe ser cero.

Deste xeito, para ver o seguinte número de un número, multiplicar este último por q.

Para axustar esta progresión, ten que especificar o primeiro elemento do mesmo eo denominador. Despois diso, é posible atopar calquera dos seguintes membros ea súa cantidade.

especies

En función do q e un _1, esta progresión divídese en varios tipos:

• Un _1, e q é maior que un, entón unha secuencia de - aumentando cada elemento sucesivo dunha progresión xeométrica. Exemplos destes son detallados a continuación.

Exemplo: un ₁ = 3, q = 2 - máis grande que a unidade, ambos os parámetros.

A continuación, unha secuencia de números se pode escribir como:

3 6 12 24 48 ...

• Se | q | menos que un, é dicir, que é equivalente a multiplicar por división, a progresión con condicións similares - decrecentes progresión xeométrica. Exemplos destes son detallados a continuación.

Exemplo: un ₁ = 6, Q = 1/3 - un ₁ é maior que un, q - menos.

A continuación, unha secuencia de números se pode escribir como segue:

2 de xuño de 2/3 ... - calquera elemento máis elementos seguintes, e 3 veces.

• Alterna. Se q <0, os sinais dos números da secuencia alterna constante, independentemente dunha _1, e os elementos dun eventual aumento ou diminución.

Exemplo: un ₁ = -3, Q = -2 - son ambos menores que cero.

A continuación, unha secuencia de números se pode escribir como:

3, 6, -12, 24, ...

fórmula

Para o uso cómodo, hai moitas progresión xeométrica das fórmulas:

• Fórmula Z-th prazo. Permite o cálculo do elemento nun número específico sen calcular os números anteriores.

Exemplo: Q = 3, a = ₁ 4. necesario para calcular unha cuarta progresión elemento.

Solución: a = ₄ 4 3 ^4-1 · · 3 = 4 ³ = 4 · 27 = 108.

• A suma dos primeiros elementos, cuxo número é igual a z. Permite o cálculo da suma de todos os elementos dunha secuencia para un incluida _z.

≠ 0, así, q non é 1 - (Q 1) Xa que (1- q) está no denominador, a continuación.

Nota: Se q = 1, entón a progresión representaría unha serie de interminabelmente repetindo o número.

Importe exponencialmente exemplos: un ₁ = 2, Q = -2. Calcular S _5.

Solución: S ₅ = 22 - fórmula de cálculo.

• Importe se | Q | <1 e cando z tende ao infinito.

Exemplo: un ₁ = _2, Q = 0,5. Atope a suma.

Solución: S _Z = 2 x = 4

Calcular a suma de varios membros do manual, vai ver que está de feito comprometido con catro.

S _z = 2 + 1 + 0,5 + 0,25 + 0,125 + 0,0625 = 3,9375 4

Algunhas propiedades:

• Unha propiedade característica. A seguinte condición É válida para calquera z, logo dar unha serie numérica - unha progresión xeométrica:

un _^Z2 = O _{z -1} · Un _{z +1}

• Tamén é o cadrado de calquera número é exponencialmente a través de incorporación dos cadrados dos outros dous números en calquera dada liña, se son equidistantes do elemento.

² un _z = _{z - T} ² _{+ z} + _t ^2, onde t - a distancia entre estes números.

• Os elementos difiren por veces q.
• Os logaritmos dos elementos de progresión así formar unha progresión, pero a media aritmética, é dicir, cada un deles máis que o anterior por un certo número.

Exemplos dalgúns problemas clásicos

Para entender mellor o que unha progresión xeométrica, cos exemplos de decisións para o grao 9 pode axudar.

• Termos e condicións: a ₁ = 3, a ₃ = 48. Find q.

Solución: cada elemento sucesivo en máis que o anterior q tempo. É necesario para expresar algúns elementos a través doutra vía denominador.

Por conseguinte, un ₃ = q ² · un ₁

Cando substituíndo q = 4

• Condicións: un ₂ = 6, a = ₃ 12. Calcular S _6.

Resolución: Para facer isto, só tes que atopar Q, o primeiro elemento e substituto na fórmula.

un ₃ = Q · un _2, en consecuencia, Q = 2

a ₂ = Q Un · _1, así a = ₁ 3

S = ₆ 189

• · A ₁ = 10, Q = -2. Atopar o cuarto elemento de progresión.

Solución: é suficiente para expresar o cuarto elemento a través do primeiro e por medio do denominador.

_4-A ³ = Q · a = ₁ -80

Exemplo de aplicación:

• cliente Banco contribuíu a suma de 10.000 rublos, en que cada ano o cliente para o valor do principal engadirase 6% do que aínda. Canto diñeiro está na conta despois de 4 anos?

Solución: O valor inicial igual a 10 mil rublos. Entón, un ano despois os investimentos en conta será o importe equivalente a 10.000 + 10.000 = 10.000 · 0,06 · 1,06

En consecuencia, o importe na conta, mesmo despois dun ano será expresa do seguinte xeito:

(10000 · 1,06) · · 10000 0,06 + 1,06 = 1,06 1,06 · · 10.000

É dicir, cada ano a cantidade aumentou a 1,06 veces. Así, para atopar o número de conta despois de 4 anos, é suficiente para atopar un cuarto progresión elemento, que é xa primeiro elemento igual a 10 mil, eo denominador igual a 1,06.

S = 1,06 · · 1,06 1,06 1,06 · · 10000 = 12625

Exemplos de problemas no cálculo da suma de:

En varios problemas usando progresión xeométrica. Un exemplo de atopar a suma pode ser definido do seguinte xeito:

a ₁ = 4, Q = 2, calcular S _5.

Solución: todos os datos necesarios para o cálculo son coñecidos, simplemente substitúe-los na fórmula.

S ₅ = 124

• a ₂ = 6, a = _3, 18. Calcular a suma dos primeiros seis elementos.

solución:

O Geom. o progreso de cada elemento da próxima maior que as veces q anteriores, é dicir, para calcular a cantidade que ten que saber o elemento a ₁ eo denominador q.

a ₂ · q = _A3

q = 3

Do mesmo xeito, a necesidade de atopar a _1, a ₂ e sabendo q.

a ₁ · q = _a2

a ₁ = 2

E, a continuación, é suficiente substituír as indicacións coñecidas para a cantidade de fórmula.

S ₆ = 728.