Diferenciais - o que é iso? Como atopar o diferencial da función?

Xunto con derivados súas funcións diferenciais - IT algúns dos conceptos básicos do cálculo diferencial, a sección principal da análise matemática. Como intimamente ligadas, ambas deles varios séculos amplamente utilizado na resolución de case todos os problemas que xurdiron no curso da actividade científica e técnica.

O xurdimento do concepto de diferencial

Por primeira vez, deixou claro que un diferencial tal, un dos fundadores (xunto con Isaakom Nyutonom) cálculo diferencial famoso matemático alemán gotfrid Vilgelm Leybnits. Antes de que os matemáticos do século 17. usado idea moi incerto e vago dalgúns "indivisible" infinitesimal de calquera función coñecida, o que representa un valor moi pequeno constante, pero non é igual a cero, debaixo do cal valora a función non pode ser simplemente. Por iso, foi de só un paso para a introdución de conceptos de incrementos infinitesimais de argumentos da función e os seus respectivos incrementos das funcións que poden ser expresadas en termos de derivados deste último. E este paso foi dado case simultaneamente os dous enriba grandes científicos.

Con base na necesidade de abordar urxentes problemas mecánicos prácticos que confrontan ciencia en rápido desenvolvemento da industria e da tecnoloxía, Newton e Leibniz creou as formas máis comúns de atopar as funcións do tipo de cambio (especialmente en relación á velocidade mecánica do corpo da traxectoria coñecida), o que levou á introdución de tales conceptos, como a función derivada eo diferencial, e descubriron tamén que as solucións aos problemas algoritmo inverso como coñecido por se (variable) velocidades percorrido para atopar o camiño que levou ao concepto de integral Á.

Nas obras de idea de Leibniz e Newton principio parecía que os diferenciais - é proporcional ao incremento dos argumentos básicos Oh incrementa funcións? U que poden ser aplicados con éxito para calcular o valor do último. Noutras palabras, eles descubriron que unha función de incremento pode ser en calquera punto (dentro do seu dominio de definición) é expresada a través do seu derivado tanto? U = y '(x)? H αΔh onde α OH - restante, que tende a cero como Oh → 0, moito máis rápido que o SH real.

Segundo os fundadores da análise matemática, os diferenciais - este é o primeiro mandato en incrementos de calquera funcións. Mesmo sen ter un límite de secuencias concepto claramente definidas son entendidas intuitivamente que o valor diferencial do derivado tende a funcionar cando Oh → 0 -? U / Oh → Y '(x).

Ao contrario de Newton, que era sobre todo un físico e aparato matemático considerado como unha ferramenta auxiliar para o estudo de problemas físicos, Leibniz prestado máis atención a este conxunto de ferramentas, incluíndo un sistema de símbolos visuais e comprensibles valores matemáticos. Propúxose que a notación estándar de diferenciais de función dy = y '(x) dx, dx, ea derivada da función argumento como a súa relación y' (x) = dy / dx.

A definición moderna

Cal é o diferencial en termos de matemática moderna? Está intimamente relacionado co concepto de un incremento variable. Se a variable y ten un primeiro valor de y y = _1, entón Y = Y _2, a diferenza y ₂ ─ y _un se chama o valor de incremento y. O incremento pode ser positivo. negativo e cero. A palabra "incremento" é designado Δ ,? U gravación (léase 'delta y') denota o valor do incremento y. así? u = y ₂ ─ y _1.

Se o valor? U función arbitraria y = (x) f pode ser representada como? U = A? H α, onde A é ningunha dependencia en? H, t. E. A = const ao dato x, eo termo α cando Oh → 0 tende a é aínda máis rápido que o real? H, a continuación, o primeiro ( "Master") un termo proporcional Oh, e é a (x) y = f diferencial, denotada dy ou DF (x) (ler "y de", "de ef X"). Polo tanto diferenciais - un lineal "principal" en relación aos compoñentes de incrementos funcións? H.

explicación mecánica

Sexa s = f (t) - a distancia en liña recta movendo o punto de material desde a posición inicial (t - tempo de viaxe). Incremento Ds - é o punto de camiño durante un período de tempo? T, e os ds diferenciais = f '(t) At - este camiño, o cal punto ía realizarse durante o mesmo tempo At, mantívose a velocidade de f (t), alcanzado no tempo t . Cando un Dt ds camiño imaxinario infinitesimal difire dos Ds reais infinitamente tendo unha orde máis elevada en relación á Dt. Se a velocidade no instante t non é igual a cero, os ds valor aproximado da pequeno punto de polarización.

interpretación xeométrica

Deixe que a liña L representa a gráfica de y = f (x). Entón Δ x = MQ ,? U = QM '(ver. Figura abaixo). Tanxente MN quebra? U cortar en dous partes, e QN NM '. Primeira e Oh é proporcional QN = MQ ∙ TG (QMN ángulo) =? H f (x), t. E QN é diferencial dy.

A segunda parte da diferenza? U NM'daet ─ dy cando Oh lonxitude → 0 NM 'diminúe aínda máis rápido que o incremento do argumento, é dicir, ten o fin de pequenez maior que oh. Neste caso, se '(x) * 0 (tanxentes non paralela OX) segmentos f QM'i QN equivalentes; Noutras palabras NM 'diminúe rapidamente (a fin de pequenez da súa máis elevada) que o incremento total de? u = QM'. Isto é evidente na figura (que se achega do segmento M'k M NM'sostavlyaet todos menor porcentaxe segmento QM ').

Entón, diferencial graficamente función arbitraria é igual ao incremento da ordenada da tanxente.

Derivado e diferencial

Un factor no primeiro termo da expresión función de incremento é igual ao valor do seu derivado f '(x). Así, a seguinte relación - dy = f (x)? H ou DF (x) = f (x)? H.

Sábese que o incremento do argumento independente é igual ao seu diferencial? H = dx. Así, podemos escribir: f '(x) dx = dy.

Buscar (ás veces dise que a "decisión") diferenciais é realizada polas mesmas normas que para os derivados. Unha lista deles é xa a continuación.

O que é máis universal: o incremento do argumento ou o seu diferencial

Aquí é necesario facer algúns aclaracións. Representación valor f '(x) diferencial SH posible cando considerando x como un argumento. Pero a función pode ser un complexo, onde x pode ser unha función do argumento t. A continuación, a representación da expresión diferencial de f (x)? H, como unha regra, é imposible; agás no caso de dependencia lineal x = a + b.

Igual á fórmula f (x) dx = dy, a continuación, no caso de argumento x independente (entón dx =? H) no caso da dependencia paramétrico x t, é diferencial.

Por exemplo, a expresión 2 x oh é y = x ² súa diferencial cando x é un argumento. Agora x = t ² e asumir argumento t. Logo y = x ² = ^{4 dormitorios.}

Isto é seguido por (t + At) ² = T + ^2? T 2tΔt ^2. De aí Oh = 2tΔt +? T ^2. Así: 2xΔh = 2t ² (2tΔt +? T ^2).

Esta expresión non é proporcional á Dt, e, polo tanto, é agora 2xΔh non é diferencial. Ela pode ser atopada a partir da ecuación y = x ² = ^{4 dormitorios.} É igual dy = 4t ³ Dt.

Se tomamos o 2xdx expresión, que é o diferencial y = x ² para calquera argumento t. Efectivamente, cando x = ² t obter dx = 2tΔt.

Así 2xdx = 2t ² 2tΔt = 4t ³ .DELTA.t, t. E. Os diferenciais de Express gravados por dúas variables diferentes coinciden.

Substituíndo incrementos diferenciais

Se f (x) ≠ 0, logo ,? U e equivalente dy (cando Oh → 0); Se f (x) = 0 (sentido e dy = 0), elas non son equivalentes.

Por exemplo, se y = x ^2, a continuación ,? U = (x +? H) ² ─ x ² = 2xΔh +? H ² e dy = 2xΔh. Se x = 3, entón temos? U = 6Δh +? H ² e dy = 6Δh que son equivalentes debido? H ² → 0 cando x = 0 valor? U =? H ² e dy = 0 non son equivalentes.

Este feito, xunto coa estrutura simple do diferencial (m. E. linearidade en relación á OH), é frecuentemente utilizado en cálculo aproximado, o presuposto de que DY? U ≈ para pequeno oh. Atope a función diferencial é xeralmente máis fácil do que para calcular o valor exacto do incremento.

Por exemplo, temos cubo metálico con bordo x = 10,00 cm. Con calefacción bordo alongada na Oh = 0,001 cm. Como o aumento do volume cubo V? Temos V = x ^2, de xeito que dV = 3x ² = 3? H ∙ ∙ ¹⁰ de febreiro 0/01 = 3 ^{(3 cm).} Aumento? V dV equivalente diferencial, de xeito que AV = 3 ^cm3. cálculo integral daría ^3? V = 10,01 ─ ¹⁰ de marzo = 3,003001. Pero o resultado de todos os díxitos, excepto o primeiro non fiable; polo tanto, aínda é necesario redondear a 3 ^cm3.

Obviamente, esta visión é útil se é posible estimar o valor transmitido co erro.

función diferencial: exemplos

Imos tentar atopar o diferencial da función y = x ^3, atopar o derivado. Imos dar o incremento argumento? Ou e definir.

? U = (x? H) ³ ─ x ³ = 3x ² + OH (OH 3xΔh ² + ^3).

Aquí, o coeficiente A = 3x ² non depende? H, de xeito que o primeiro termo é proporcional? H, o outro membro 3xΔh? H ² + ³ cando? H → 0 diminúe máis rápido que o incremento do argumento. Por conseguinte, un membro de 3x ² OH é o diferencial de y = x ^3:

dy = 3x ^2? H = 3x ² dx ou D (x ³⁾ = 3x ² dx.

En que d (x ³⁾ / dx = 3x ^2.

Dy Agora atopar a función y = 1 / x polo derivado. Logo d (1 / x) / dx = ─1 / x ^2. Polo tanto dy = ─ Oh / x ^2.

Diferenciais alxébricas funcións básicas son dadas a continuación.

Cálculos aproximados usando diferencial

Para avaliar a función f (x), ea súa derivada f '(x) en x = a é moitas veces difícil, pero para facer o mesmo na veciñanza de x = a non é fácil. A continuación, veñen en auxilio da expresión aproximada

f (a + OH) ≈ f '(a)? H f (a).

Isto dá un valor aproximado da función en pequenos incrementos, a través da súa diferencial Oh f '(a)? H.

Polo tanto, esta fórmula proporciona unha expresión aproximada para a función no punto final dunha porción de lonxitude? H como unha suma do valor no punto da porción (x = a) eo diferencial no mesmo punto de partida de partida. Precisión do método para determinar os valores da función abaixo ilustra o debuxo.

Con todo coñecida ea Express exacta para o valor da función de x = a + OH reparada incrementos finitos fórmula (ou, alternativamente, dunha fórmula de Lagrange)

f (a + OH) ≈ f '(ξ) Oh + f (a),

onde o punto x = a + ξ está no rango de x = a ax = a + OH, aínda que a súa posición exacta é descoñecida. A fórmula exacta permite avaliar o erro da fórmula aproximada. Se colocarmos na fórmula Lagrange ξ =? H / 2, aínda que ela deixa de ser preciso, pero dá, vía de regra, unha visión moito mellor que a expresión orixinal en termos de diferencial.

fórmulas de avaliación diferencial de erro mediante a aplicación

Instrumentos de medida , en principio, imprecisa, e traer para os datos de medida correspondentes ao erro. Eles caracterízanse por limitar o erro absoluto, ou, en resumo, o erro de límite - positivo, excedendo claramente o erro de valor absoluto (ou, como máximo, igual a el). Limitando o erro relativo se chama o cociente obtido pola división polo valor absoluto do valor medido.

Deixe exacta fórmula y = f (x) función utilizada para vychislyaeniya y, pero o valor de x é o resultado da medición, e, polo tanto, o erro trae y. A continuación, para atopar a limitar erro absoluto │Δu│funktsii y, utilizando a fórmula

│Δu│≈│dy│ = │ f (x) ││Δh│,

onde │Δh│yavlyaetsya argumento de erro marxinal. │Δu│ cantidade debe ser redondeado para arriba, como cálculo en si imprecisa é a substitución do incremento no cálculo diferencial.